数据结构-堆

最大堆/最小堆

　堆的定义是：n个元素的序列{k₁,k₂,…,k_n}，当且仅当满足如下关系时被成为堆

　　　(1)K_i<= k_2i且 k_i<= k_2i-1

　　或 (2) K_i>= k_2i且 k_i>= k_2i-1

　　　　　　　　　　(i = 1,2,…[n/2])

当满足(1)时，为最小堆，当满足(2)时，为最大堆。

　　若将此序列对应的一维数组堪称是一个完全二叉树，则2i和2i+1个节点分别是节点i的左右子节点。

如下为一个最大堆：

下面以最小堆为例说明堆的输出：

　　图1为一个最小堆，当最小节点根节点13输出后，将最后一个节点97作为根节点，移到顶端，如图2. 然后要对堆进行调整。比较此完全树的根节点与其两个子节点大小，因为27 < 38 < 97，所以27是三个节点里最小的，将节点27与根节点97交换。此时以97替代27而产生的右子树为一个新的堆，再以97为根节点，对此最小堆进行调整，同理，知道要将97与49交换，得到图3的完全树。此时以97代替49为根节点的右子树为一个新堆，再对此堆做同样的操作，因为此完全树已经是最小堆，所以可以停止操作，堆的调整完毕。此时再将根节点，对的最小值输出，并进行同样的调整，可以得到如图4的新堆。这个过程被称为“筛选”。

同样以最小堆说明堆的初始化：

　　从一个无序序列初始化为一个堆的过程就是一个反复“筛选”的过程。由完全二叉树的性质可以知，一个有n个节点的完全二叉树的最后一个非叶节点是节点[n/2]，堆的初始化过程就从这个[n/2]节点开始。上图为如下无序数组的初始化：

　　　　{49,38,65,97,76,13,27,50}

　　首先，未处理的数组对应的堆为图1模样。从第四个节点开始（[8/2]=4），因为50< 97，故要交换两节点，交换后还要继续对其新的左子树进行类似输出后那样的筛选。易见其左子树只有节点97，已经为最佳情况，故可以继续堆的初始化，如图2。再考虑第三个节点，因为13 < 27 < 65，即节点13为当前的最小节点，故与节点65交换，并对新的左子树进行筛选，其也为最佳情况，故可继续堆的初始化，结果如图3。然后考虑第二个节点，因为38 < 50 < 76，故已经为最优情况，不用调整。最后再考虑第一个节点，根节点。因为 13 <38 < 49，故需要将根节点49与其右孩子节点13交换，交换后还要继续对其新的右子树进行类似输出后那样的筛选，可见右子树还需要调整，因为 27< 49< 65,故将节点49与节点27交换。此时已经处理完了根节点，初始化结束。最终结果如图5.